Lineare Algebra Beispiele

$3 a + 21 = 5 b$ , $4 b + 6 = - 9 a$

Schritt 1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a = 5 b - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Schritt 2

Subtrahiere $5 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Schritt 3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b = - 9 a - 6$

Schritt 4

Addiere $9 a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 9 a = - 6$

Schritt 5

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & - 21 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Schritt 6

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{- 21}{3} \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Schritt 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 4 - 9 (- \frac{5}{3}) & - 6 - 9 \cdot - 7 \end{array}]$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 19 & 57 \end{array}]$

Schritt 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{57}{19} \end{array}]$

Schritt 6.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & - 7 + \frac{5}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 6.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 7

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = - 2$

$b = 3$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 2, 3)$

Schritt 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}]$